1 апреля 2016

«Теорема Ферма. Прошлое. Настоящее. Будущее». Сегодня в рамках Весенней школы семинара для школьников 6-10 классов РСО-А состоялась еще одна научно-популярная лекция от ученого. О теореме-загадке, наделавшей много шуму в математических кругах научного мира, учащимся рассказала Абатурова Вера Сергеевна - к.пед.н., директор ВЦНМО, зав. отделом образовательных и информационных технологий ЮМИ ВНЦ РАН.

Автор теоремы - Пьер де Ферма (1601–1665) - внес немалый вклад в развитие разных областей математики, но большую часть научного наследия опубликовали только после его смерти. Связано это было с тем, что сама математика для Ферма была чем-то вроде хобби, но совсем не профессиональным занятием. Поэтому, переписываясь с различными учеными математиками своего времени, все же публиковать работы он не спешил.

Так, на полях древнегреческой «Арифметики» Диофанта, уже после смерти Ферма потомки нашли формулировку великой теоремы, а также приписку к ней, где математик отметил, что нашел ей «поистине чудесное доказательство», добавив, что «поля для него весьма узки».

Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах. То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству х2 + y2 = z2. Начиная с 3, 4, 5 – действительно, любому школьнику понятно, что 9+16=25. Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. И так далее. А если взять похожее уравнение х3+ y3 = z3? Может, тоже есть такие числа? Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение. Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие? Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно. В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик. А проделаем то же с третьим измерением – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние.

Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он непременно упомянул бы о нём. Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 году – для n = 5, Ламе – для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, и так далее. Но все это были частные случаи, а не универсальное доказательство для ВСЕХ ЧИСЕЛ. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел.

Считается, что Великая теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств. Многие начинающие математики считали своим долгом подступиться к Великой теореме, но доказать ее все никак не удавалось. Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: «Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу что ли?». Некоторые пытались прославиться от обратного: доказать, что она не верна. А для этого, как мы говорили, достаточно просто привести пример: вот три числа, одно в кубе плюс второе в кубе – равно третьему в кубе. И они искали такие тройки чисел. Но безуспешно... И никакие компьютеры, ни с каким быстродействием, никогда не смогли бы ни проверить теорему, ни опровергнуть ее, ведь все переменные этого уравнения (в том числе и показатели степени) могут возрастать до бесконечности.

Наконец 23 июня 1993 года в Кембридже состоялась самая важная лекция по математике в ХХ веке. Лектором был Эндрю Уайлс, англичанин, профессор Принстонского университета. Эндрю Уайлс продемонстрировал ученым полное доказательство Великой теоремы Ферма. Он шел к этому 30 лет, буквально с десятилетнего возраста. Его доказательство потом еще было уточнено и усовершенствовано в 1995 году, но самое главное – Великая теорема была доказана! На это человечеству понадобилось 358 лет. Для доказательства была применена «самая высшая» и самая современная математическая наука. Это доказательство закрыло сразу две страницы истории: 350-летний поиск доказательств Великой теоремы и бесконечные нашествия ферматистов на все математические кафедры всех университетов и институтов в мире.

24 мая 2016 года за доказательство Великой (Последней) теоремы Ферма, «положившей начало новой эре в теории чисел» Эндрю Уайлс получил Премию Абеля. «Новые идеи, введенные Уайлсом в научный обиход, открыли возможность для дальнейших прорывов», - сказал глава Абелевского комитета Йон Рогнес. - Немногие математические проблемы имеют столь богатую научную историю и столь эффектное доказательство, как Последняя теорема Ферма».

Для решения теоремы, которую не могли доказать 350 лет, Уайлс использовал подходы двух современных областей математической науки, изучающих, в частности, полустабильные эллиптические кривые. Такая математика используется, например, в эллиптической криптографии, с помощью которой защищаются данные о платежах, совершаемых с помощью пластиковых карт».

В этот же день участники Весенней школы-семинара играли в деловую игру "Снежинки", которую провела Игнатович Инна Владимировна - руководитель компании «Лето Косметика», победитель конкурса «Машук-2015». Каждой из 13 команд (в команде по 6 человек) необходимо было произвести из бумаги с помощью ножниц продукт «снежинка» и продать его на рынке 5 покупателям. По правилам игры, побеждает команда, заработавшая денег больше остальных. Игра состояла из 5 раундов по 3 минуты, в течение которых нужнобыло успеть произвести товар «Снежинка», продать его покупателю по возможно высокой цене (каждую снежинку можно продать по цене от 1 до 5 рублей), а также позаботиться о своевременном пополнении сырья (бумага) и оборудования (ножницы).

Игра развивает командный дух, коммуникативные навыки, лидерские и деловые качества участников, а также позволяет смоделировать ситуацию взаимодействия представителей бизнеса со своими покупателями.